O Paradoxo dos Aniversários

Outro dia em um divertido almoço ao lado com o estatístico Admilson Alcantara, sobreveio-nos algumas ponderações estatístico-filosófico-matemáticas acerca do Paradoxo (ou problema) dos Aniversários.

Enunciado do paradoxo
Imaginem que num certo momento estão com um grupo de pessoas, por exemplo, numa reunião familiar ou num bar, qualquer grupo aleatório de pessoas dará. Digamos que há 25 pessoas. Coloco-vos a seguinte questão: Qual pensam que é a probabilidade de que nesse grupo de pessoas haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês?

Quem não conheça este assunto provavelmente responderá: Não sei, mas deve ser muito pequena. Pelo menos essa é basicamente a resposta que encontrei sempre que comentei este assunto.

Mas, a verdade é que não é nada pequena. Vejamos como poderíamos considerar o enunciado do paradoxo:

Numa reunião de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de que duas delas façam anos no mesmo dia do mesmo mês é de 0,507 ou seja, há 50,7% de possibilidades de que haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia do mesmo mês.

Para as 25 pessoas do meu exemplo a probabilidade é de aproximadamente de 0,57, ou seja, quase 57%.

Basicamente o que nos diz este resultado é que numa reunião de 23 ou mais pessoas, é mais surpreendente que não haja duas que coincidam no aniversário do que haja pessoas cujo aniversário não seja coincidente, algo que todos nós tendemos a não acreditar num primeiro momento.

Demonstração matemática
O resultado não é um paradoxo matemático, é algo comprovável (e até facilmente) matematicamente. A designação de paradoxo advém do facto de parecer contradizer a intuição.

Para calcular a probabilidade para qualquer número de pessoas n menor ou igual a 365 (já que se há mais de 365 pessoas a probabilidade é 1) a ideia é calcular a probabilidade de que não haja duas pessoas que façam anos no mesmo dia. A esta probabilidade chamaremos P. Depois calculamos a probabilidade de que haja algum par de pessoas façam anos no mesmo dia, efectuando a operação 1 - P. Calculemos P (tomaremos o ano com 365 dias):

Tomemos uma das pessoas do grupo. Essa pessoa fará anos num certo dia. Tomemos outra das pessoas. A probabilidade de que o aniversário desta nova pessoa não coincida com o aniversário da primeira é 364/365 (casos favoráveis: todos os dias do ano excepto o do aniversário da primeira pessoa; casos possíveis: todos os dias do ano). Se tomamos uma outra pessoa mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 363/365 (pela mesma razão). Tomando outra mais, a probabilidade de que não coincida com nenhuma das anteriores é 362/365, e assim sucessivamente. A probabilidade de que ocorram todos estes acontecimentos (que ninguém coincida) é o produto de todas estas probabilidades. Para n pessoas ficamos com a seguinte expressão:

P = (364/365).(363/365).(362/365)….(365 – n +1)/365

Usando factoriais podemos escrever esta expressão assim:

P = 365!/[365^n.(365 - n)!]

Se esta é a probabilidade de que não haja duas pessoas que coincidam no aniversário, a probabilidade de que haja pelo menos um par de pessoas que coincida será 1 - P. Ou seja, a probabilidade de que numa reunião de n pessoas haja duas que façam anos no mesmo dia e mesmo mês é:

P =1 - 365!/[365^n.(365 - n)!]

Com n = 22 obtemos uma probabilidade de 0,475695. Com n = 23 já passamos a 50%, com rigor uma probabilidade de 0,507297. Com n = 25, como no exemplo inicial, estamos já com 0,5687.

Aqui ficam mais alguns resultados:
Para n = 30, a probabilidade é de 0,706316, pouco mais de 70%.
Para n = 35, a probabilidade é de 0,8143383, pouco mais de 81%.
Para n = 40, a probabilidade é de 0,891232, quase de 90%.
Para n = 45, a probabilidade é de 0,940976, cerca de 95%.
Para n = 50, a probabilidade é de 0,970374, mais de 97%.
Para n = 60, a probabilidade é de 0,994123, mais de 99%!!.

A questão é que geralmente cada pessoa tende a imaginar a probabilidade de que, partindo de uma pessoa concreta, haja outra que coincida no aniversário com ela. A probabilidade de isso acontecer é de facto muito baixa em 23 pessoas. A chave do problema é que há uma multiplicidade de pares possíveis que podem formar-se e que vão aumentando conforme aumenta o número de pessoas do grupo. Por isso é que a probabilidade acaba por ser tão alta num grupo tão pequeno.

FONTE:
Matmagias: O paradoxo do aniversário. Disponível em: Matmagias
Gráfico proveniente de Wikipédia